Question

17．在直線坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，直線l過點A（1，2），且傾斜角為$\frac{π}{4}$．
（1）求直線l的參數方程及圓C的直角坐標方程；
（2）判斷直線l與圓C的位置關系．

Answer 1

分析 （1）由直線l過點A（1，2），且傾斜角$\frac{π}{4}$，可得直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=2+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t為參數）．由圓C的極坐標方程為ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得：圓C的直角坐標方程．
（2）求出圓心到直線的距離d，與半徑比較即可得出．

解答 解：（1）∵直線l過點A（1，2），且傾斜角$\frac{π}{4}$，∴直線l的參數方程為  $\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數）．
∵圓C的極坐標方程為ρ²=2ρcosθ，∴圓C的直角坐標方程為x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
（2）直線l的普通方程為y-x-1=0，圓心C（1，0）到直線l的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}＞1$，
∴直線l與圓C相離．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．