Question

已知橢圓

x2

36

+

y2

9

=1，求以P（4，2）為中點(diǎn)的橢圓的弦所在的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)點(diǎn)P（4，2）為中點(diǎn)的弦AB的A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，相減，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式，求得斜率，進(jìn)而得到直線方程，注意檢驗(yàn)判別式；

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（4，2）為中點(diǎn)的弦AB的A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12

36

+

y12

9

=1，

x22

36

+

y22

9

=1，兩式相減得，

(x1-x2)(x1+x2)

36

+

(y1-y2)(y1+y2)

9

=0，
由于x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
則k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

8

4×4

=-

1

2

，
即有直線AB：y-2=-

1

2

（x-4），即y=-

1

2

x+4．
檢驗(yàn)：將直線AB方程，代入橢圓方程，得到x²-8x+14=0，判別式為8大于0，成立．
故所求直線方程為：y=-

1

2

x+4；

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程和拋物線的方程的運(yùn)用，考查解決中點(diǎn)弦問題的點(diǎn)差法，注意檢驗(yàn)判別式是否大于0，考查聯(lián)立直線方程好額拋物線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．