Question

橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，點(diǎn)A（1，1）是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+

5

3

PF₂的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出橢圓的a，b，c，以及離心率e，右準(zhǔn)線方程，再由橢圓的第二定義，可得|PF₂|=ed=

3

5

d，則|PA|+

5

3

|PF₂|=|PA|+d，過(guò)A作AM垂直于l，垂足為M，則AM的長(zhǎng)即為所求．

解答： 解：橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，
可得，a=5，c=3，b=4，
則離心率e=

c

a

=

3

5

．右準(zhǔn)線l的方程為x=

25

3

，
由橢圓的第二定義，可得，e=

|PF2|

d

（d為P到右準(zhǔn)線的距離），
則有|PF₂|=ed=

3

5

d，
則|PA|+

5

3

|PF₂|=|PA|+d，
過(guò)A作AM垂直于l，垂足為M，
即有|PA|+d≥|AM|=

25

3

-1=

22

3

．
即有最小值為

22

3

．
故答案為：

22

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，考查離心率的運(yùn)用，以及橢圓的定義的運(yùn)用：到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．