Question

10．如圖，AB為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求證：CE²=CD•CB．
（Ⅱ）若AB=2，BC=$\frac{12}{5}$，求CE與CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證CE²=CD•CB，結(jié)合題意，只需證明△CED∽△CBE即可，故連接BE，利用弦切角的知識(shí)即可得證；
（Ⅱ）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的長(zhǎng)，由（1）知，CE²=CD•CB，代入CE即可得出CD的長(zhǎng)．

解答 （Ⅰ）如圖示：

證明：連接BE，
∵BC為⊙O的切線∴∠ABC=90°，
∵AB為⊙O的直徑∴∠AEB=90°，
∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°，
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO，
∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，
∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CE}$，∴CE²=CD•CB；
（Ⅱ）∵OB=1，BC=$\frac{12}{5}$，∴OC=$\frac{13}{5}$，
∴CE=OC-OE=$\frac{8}{5}$，
由（Ⅰ）得：CE²=CD•CB，
∴${（\frac{8}{5}）}^{2}$=$\frac{12}{5}$•CD，
∴CD=$\frac{16}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的性質(zhì)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．