Question

已知方程8x²+6kx+2k+1=0的兩個實根是sinθ和cosθ．
（1）求k的值；
（2）求tanθ的值（其中sinθ＞cosθ）．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意，利用韋達(dá)定理得到sinθ+cosθ=-

3k

4

，sinθcosθ=

2k+1

8

，根據(jù)sin²θ+cos²θ=1列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（2）將k值代入可得sinθ+cosθ的值和sinθcosθ的值，由sinθ＞cosθ，可求sinθ-cosθ的值，從而可求tanθ的值．

解答： 解：（1）∵sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程8x²+6kx+2k+1=0的兩個實根，
∴sinθ+cosθ=-

3k

4

，sinθcosθ=

2k+1

8

，
∵sin²θ+cos²θ=1，
∴（sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=1，即

9k2

16

-

2k+1

4

=1，
整理得：（k-2）（9k+10）=0，
解得：k=2或k=-

10

9

，
由于k=2時△＜0故舍去．故k=-

10

9

．
（2）由（1）知，把k=-

10

9

代入，得sinθ+cosθ=

5

6

，sinθcosθ=-

11

72

，
∵sinθ＞cosθ，
sinθ-cosθ=

1-2sinθcosθ

=

1+2× 11 72

=

47

6

，
∴sinθ=

47 +5

12

，cosθ=

5- 47

12

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

47 +5

5- 47

=-

72+10 47

22

=-

36+5 47

11

．

點(diǎn)評：此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用，考察了韋達(dá)定理的應(yīng)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．