Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為

2

2

，橢圓與x軸左交點(diǎn)與點(diǎn)F的距離為

2

-1．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)△OAB面積為

2

2

時，求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率，橢圓與x軸左交點(diǎn)與點(diǎn)F的距離為

2

-1求出橢圓的幾何量，即可求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓的方程，通過三角形的面積，利用點(diǎn)到直線的距離，求出|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得

c

a

=

2

2

，a-c=

2

-1，
又a²-b²=c²，解得b²=1，a²=2，
所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1…（6分）
（Ⅱ）根據(jù)題意可知，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由方程組

y=kx+2 x2 2 +y2=1

消去y得關(guān)于x的方程（1+2k²）x²+8kx+6=0，…（8分）
由直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則有△＞0，即64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，
得：k2＞

3

2

，由根與系數(shù)的關(guān)系得

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1•x2= 6 1+2k2

，
故|AB|=|x1•x2|•

1+k2

=

16k2-24

1+2k2

1+k2

，…（10分）
又因?yàn)樵�點(diǎn)O到直線l的距離d=

2

1+k2

，
故△OAB的面積S=

1

2

|AB|•d=

16k2-24

1+2k2

=

2 2 × 2k2-3

1+2k2

，…（12分）
由

2 2 × 2k2-3

1+2k2

=

2

2

，得k=±

14

2

，
此時|AB|=

3

2

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的關(guān)系的綜合應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查分析問題解決問題的能力．