Question

數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n-a_n+1}，{a_n•a_n+1}是什么數(shù)列？

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先，設(shè)公比為q，首項為a₁，然后，分為當公比q≠1和q=1兩種情形進行討論求解．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴設(shè)公比為q，首項為a₁，則
當公比q≠1時，
a_n=a₁q^n-1，
∴a_n+1=a₁qⁿ，
∴a_n-a_n+1=a₁q^n-1（1-q）（不是常數(shù)），
∴{a_n-a_n+1}不是等比數(shù)列，也不是等差數(shù)列，
設(shè)bn=a_n•a_n+1
∴

bn+1

bn

=

an+1an+2

anan+1

=q²（是常數(shù)），
∴數(shù)列{a_n•a_n+1}是等比數(shù)列．
當公比q=1時，
{a_n-a_n+1}是等差數(shù)列，數(shù)列{a_n•a_n+1}是等比數(shù)列．

點評：本題重點考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念和方法、性質(zhì)等知識，屬于中檔題．