Question

如圖所示，在長(zhǎng)方體 A BCD-A′B′C′D′中，|A B|=λ|AD|=λ|A A′|（λ＞0），E、F分別是 A′C′和 AD的中點(diǎn)，且 EF⊥平面 A′BCD′．
（1）求λ的值；
（2）求二面角C-A′B-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD'為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出λ的值．（2）求出平面EA'B的法向量和平面A'BC的法向量，利用向量法能求出二面角C-A′B-E的余弦值．

解答： 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD'為x，y，z軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AA'=AD=2，則AB=2λ
則D（0，0，0），A'（2，0，2），D'（0，0，2），B（2，2λ，0），
C（0，2λ，0），E（1，λ，2），F(xiàn)（1，0，0）…（2分）
由已知得

EF

=(0，-λ，-2)，

D′A′

=(2，0，0)，

A′B

=(0，2λ，-2)…（3分）
∵EF⊥D'A'，EF⊥A'B，
∴

EF

•

D′A′

=0，

EF•

A′B

=0…（4分）
即-2λ²+4=0，∴λ=

2

…（5分）
（2）設(shè)平面EA'B的法向量為

m

=(1，y，z)，
則

m • A′B =0 m • A′E =0

，∵

A′B

=(0，2

2

，-2)，

A′E

=(-1，

2

，0)，
∴

2 2 y-2z=0 -1+ 2 y=0

，∴y=

2

2

，z=1，
∴

m

=(1，

2

2

，1)…（7分）
由（1）可得

EF

為平面A'BC的法向量，
且

EF

=(0，-

2

，-2)…（9分）
∴cos＜

m

，

EF

＞=

m • EF

| m |•| EF |

=

-3

5 2 • 6

=-

15

5

，…（11分）
又二面角C-A′B-E為銳二面角，
∴二面角C-A′B-E的余弦值為

15

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．