Question

3．已知△ABC和△A₁B₁C₁所在平面相交，并且AA₁，BB₁，CC₁交于一點．
（1）求證：AB和A₁B₁在同一平面內(nèi)；
（2）若AB∩A₁B₁=M，BC∩B₁C₁=N，AC∩A₁C₁=P，求證：M，N，P三點共線．

Answer 1

分析 （1）欲證兩直線在同一平面內(nèi)，根據(jù)兩條相交直線確定一個平面，證明其點在這個平面上，那么直線就在這個平面內(nèi)．
（2）欲證兩直線的交點在同一直線上，可根據(jù)公里2，證明這兩條直線分別在兩個相交平面內(nèi)，那么，它們的交點就在這兩個平面的交線上．

解答 證明：（1）如圖∵AA₁∩BB₁=O，
∴AA₁與BB₁，確定平面α，
又∵A∈α，B∈α，A₁∈α，B₁∈α，
∴AB?α，A₁B₁?α，
∴AB和A₁B₁在同一平面內(nèi)；
（2）證明：AB∩A₁B₁=M，AC∩A₁C₁=P，
∴平面ABC∩平面A₁B₁C₁=PM，
∵BC?平面ABC，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，且BC∩B₁C₁=N，
∴N∈PM，
即M，N，P三點共線

點評 本題考查了平面公理和推理的，證明共面以及共線，考查了學生的應推理論證能力，屬于中檔題