Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x²-1|-ax-1（a∈R）
（1）若關(guān)于x的方程f（x）+x²+1=0在區(qū)間（0，2]上有兩個(gè)不同的解x₁，x₂
①求a的取值范圍；
②若x₁＜x₂，求$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值分別為M（a），m（a），求g（a）=M（a）-m（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）①求得a=|x-$\frac{1}{x}$|+x的分段函數(shù)式，作出函數(shù)y=|x-$\frac{1}{x}$|+x的圖象，求出最值，即可得到所求a的范圍；
②由①消去a，可得$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₂，求得1＜x₂≤2，即可得到所求范圍；
（2）求得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-ax，0≤x≤1}\\{{x}^{2}-ax-2，1＜x≤2}\end{array}\right.$，對(duì)a討論，當(dāng)a≥4時(shí)，當(dāng)2≤a＜4時(shí)，當(dāng)0≤a＜2時(shí)，當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，當(dāng)a≤-2時(shí)，討論單調(diào)性，可得M（a），m（a），即可得到所求g（a）的解析式．

解答 解：（1）由f（x）+x²+1=0，x∈（0，2]，
得a=|x-$\frac{1}{x}$|+x=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，0＜x≤1}\\{2x-\frac{1}{x}，1＜x≤2}\end{array}\right.$．
①作出函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，0＜x≤1}\\{2x-\frac{1}{x}，1＜x≤2}\end{array}\right.$圖象，
由函數(shù)y的最小值為1，最大值為4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$．
在區(qū)間（0，2]上有兩個(gè)不同的解，可得1＜a≤$\frac{7}{2}$，
故a的取值范圍是（1，$\frac{7}{2}$）．
②∵x₁＜x₂，a=$\frac{1}{{x}_{1}}$，a=2x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$，
則有$\frac{1}{{x}_{1}}$=2x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$，即$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₂，
又1＜x₂≤2，∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₂∈（2，4]，
故$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范圍是（2，4]．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-ax，0≤x≤1}\\{{x}^{2}-ax-2，1＜x≤2}\end{array}\right.$，
當(dāng)a≥4時(shí)，有-$\frac{a}{2}$＜0，$\frac{a}{2}$≥2，f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，
則g（a）=f（0）-f（2）=2a-2．
當(dāng)2≤a＜4時(shí)，有-$\frac{a}{2}$＜0，1≤$\frac{a}{2}$＜2，f（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上為減函數(shù)，在[$\frac{a}{2}$，2]上為增函數(shù)，
此時(shí)m（a）=f（$\frac{a}{2}$）=-2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，M（a）=max{f（0），f（2）}=0，
則g（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2
當(dāng)0≤a＜2時(shí)，有-$\frac{a}{2}$＜0，0≤$\frac{a}{2}$＜1，f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，在[1，2]上為增函數(shù)，
此時(shí)m（a）=f（1）=-1-a，M（a）=max{f（0），f（2）}=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a，0≤a＜1}\\{0，1≤a＜2}\end{array}\right.$，
則g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3-a，0≤a＜1}\\{a+1，1≤a＜2}\end{array}\right.$．
當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，有0＜-$\frac{a}{2}$＜1，$\frac{a}{2}$＜0，f（x）在[0，-$\frac{a}{2}$]上為增函數(shù)，在[-$\frac{a}{2}$，1]上為減函數(shù)，
在[1，2]上為增函數(shù)，
此時(shí)m（a）=min{f（0），f（1）}=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，-1＜a＜0}\\{0，-2＜a≤-1}\end{array}\right.$，
M（a）=max{f（-$\frac{a}{2}$），f（2）}=2-2a，
則g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3-a，-1＜a＜0}\\{2-2a，-2＜a≤-1}\end{array}\right.$．
當(dāng)a≤-2時(shí)，有$-\frac{a}{2}$≥1，$\frac{a}{2}$＜0，f（x）在[0，2]上為增函數(shù)，
則g（a）=f（2）-f（0）=2-2a．
則g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a，a≤-1}\\{3-a，-1≤a＜1}\\{a+1，1≤a＜2}\\{2+\frac{{a}^{2}}{4}，2≤a＜4}\\{2a-2，a≥4}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：求取值范圍和最值，注意運(yùn)用絕對(duì)值的意義和分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．