Question

9．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=$\frac{π}{3}$，對角線AC與BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（Ⅰ） 求證：EF∥BC；
（Ⅱ）求面AOF與平面BCEF所成銳二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥面ADEF，由此能證明EF∥BC．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標原點，OA，OB，OF分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出面AOF與面BCEF所成的銳二面角的正弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為菱形
∴AD∥BC，且BC?面ADEF，AD?面ADEF，
∴BC∥面ADEF，且面ADEF∩面BCEF=EF，
∴EF∥BC．    …（6分）
解：（Ⅱ）∵FO⊥面ABCD，∴FO⊥AO，F(xiàn)O⊥OB
又∵OB⊥AO，以O(shè)為坐標原點，OA，OB，OF分別為x軸，
y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
取CD的中點M，連OM，EM．易證EM⊥平面ABCD．
又∵BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各點坐標：
B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），
F（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
向量$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），向量$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），向量$\overrightarrow{BF}=（0，-1，\sqrt{3}）$，
設(shè)面BCFE的法向量為：$\overrightarrow{n_0}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{0}}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{0}}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，得到$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}{x_0}-{y_0}=0\\-{y_0}+\sqrt{3}{z_0}=0\end{array}\right.$，
令${y}_{0}=\sqrt{3}$時，$\overrightarrow{{n}_{0}}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
面AOF的一個法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，
設(shè)面AOF與面BCEF所成的銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{n}_{0}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{n}_{0}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，∴sinθ=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故面AOF與面BCEF所成的銳二面角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．…（12分）

點評 本題考查線線平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．