Question

6．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln（\sqrt{{x^2}+1}-x），x≥0\\ ln（\sqrt{{x^2}+1}+x），x＜0\end{array}$，則不等式f（2x-1）＞f（3）的解集為（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-1，2）
• D． （-∞，-1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式先判斷函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，然后判斷當(dāng)x≥0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由分段函數(shù)得f（0）=0，
若x＜0，則-x＞0，此時(shí)f（-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），則f（-x）=f（x），
若x＞0，則-x＜0，此時(shí)f（-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），則f（-x）=f（x），
綜上恒有則f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=ln$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=-ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∵當(dāng)x≥0時(shí)y=x是增函數(shù)，y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$是增函數(shù)，∴y=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+1）是增函數(shù)，而y=-ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+1）是減函數(shù)，
則不等式f（2x-1）＞f（3）等價(jià)為不等式f（|2x-1|）＞f（3），
即|2x-1|＜3，得-3＜2x-1＜3，得-1＜x＜2，
即不等式的解集為（-1，2），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．