Question

12．如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB，點(diǎn)F滿(mǎn)足$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FE}$．
（1）求證：直線(xiàn)EC∥平面BDF；
（2）求二面角D-BF-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，交BD于G，推導(dǎo)出EC∥FG，由此能證明直線(xiàn)EC∥平面BDF．
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為O以O(shè)D，OA，OE分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-BF-A的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，交BD于G，
∵AB∥CD，∴$\frac{CG}{GA}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}=\frac{EF}{FA}$，
∴EC∥FG，又EC?平面BDF，F(xiàn)G?平面BDF，
∴直線(xiàn)EC∥平面BDF．
解：（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為O，∵△ABE是等腰三角形，
∴EO⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，連結(jié)OD，
則OB∥DC，且OB=DC，
∴OD∥BC，∴OD⊥AB，
如圖，以O(shè)D，OA，OE分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，1，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），
平面BFA的法向量$\overrightarrow{OD}$=（1，0，0），
設(shè)平面BFD的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GF}=-x+y+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OD}$＞=$\frac{1}{1×\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角D-BF-A的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．