【題目】隨著新高考改革的不斷深入,高中學(xué)生生涯規(guī)劃越來越受到社會的關(guān)注.一些高中已經(jīng)開始嘗試開設(shè)學(xué)生生涯規(guī)劃選修課程,并取得了一定的成果.如表為某高中為了調(diào)查學(xué)生成績與選修生涯規(guī)劃課程的關(guān)系,隨機(jī)抽取50名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).
成績優(yōu)秀 | 成績不夠優(yōu)秀 | 總計(jì) | |
選修生涯規(guī)劃課 | 15 | 10 | 25 |
不選修生涯規(guī)劃課 | 6 | 19 | 25 |
總計(jì) | 21 | 29 | 50 |
(1)根據(jù)列聯(lián)表運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法能否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績是否優(yōu)秀與選修生涯規(guī)劃課有關(guān)”,并說明理由;
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在選修生涯規(guī)劃課的成績優(yōu)秀和成績不夠優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生作為代表,從5名學(xué)生代表中再任選2名學(xué)生繼續(xù)調(diào)查,求這2名學(xué)生成績至少有1人優(yōu)秀的概率.
參考附表:
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考公式,其中n=a+b+c+d.
【答案】(1)有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績是否優(yōu)秀與選修生涯規(guī)劃課有關(guān)”,詳見解析(2)
【解析】
(1)由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)結(jié)合公式求得得K2的觀測值k,結(jié)合臨界值表得結(jié)論;
(2)利用枚舉法寫出從5名學(xué)生中任選2名學(xué)生的全部基本事件,再求出所選2人至少有1人成績優(yōu)秀的事件數(shù),由古典概型概率公式求解.
(1)由已知表格中的數(shù)據(jù),可得K2的觀測值k6.650>6.635.
所以有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績是否優(yōu)秀與選修生涯規(guī)劃課有關(guān)”;
(2)由題意得,在成績優(yōu)秀的學(xué)生中抽取153(人),分別記為A,B,C,
在成績不夠優(yōu)秀的學(xué)生中抽取5﹣3=2(人),分別記為a,b.
則從5名學(xué)生中任選2名學(xué)生的全部基本事件為:AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共有10種,
其中所選2人至少有1人成績優(yōu)秀的事件為:AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,
共有9種.
∴這2名學(xué)生中至少有1人優(yōu)秀的概率為P.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對邊的邊長,且C=,a+b=λc(其中λ>1).
(1)若λ=時(shí),證明:△ABC為直角三角形;
(2)若·=λ2,且c=3,求λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:a=1時(shí),f(x)+g(x)﹣(1)lnx>e.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】眾所周知的“太極圖”,其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起,也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”.整個(gè)圖形是一個(gè)圓形.其中黑色陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓,給出以下命題:
①在太極圖中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自黑色陰影部分的概率是
②當(dāng)時(shí),直線y=ax+2a與白色部分有公共點(diǎn);
③黑色陰影部分(包括黑白交界處)中一點(diǎn)(x,y),則x+y的最大值為2;
④設(shè)點(diǎn)P(﹣2,b),點(diǎn)Q在此太極圖上,使得∠OPQ=45°,b的范圍是[﹣2,2].
其中所有正確結(jié)論的序號是( )
A.①④B.①③C.②④D.①②
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一項(xiàng)針對我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的研究,表1為各個(gè)學(xué)段每個(gè)內(nèi)容主題所包含的條目數(shù).下圖是將下表的條目數(shù)轉(zhuǎn)化為百分比,按各學(xué)段繪制的等高條形圖.由圖表分析得出以下四個(gè)結(jié)論,其中錯(cuò)誤的是( )
學(xué)段 內(nèi)容主題 | 第一學(xué)段 (1—3年級) | 第二學(xué)段 (4—6年級) | 第三學(xué)段 (7—9年級) | 合計(jì) |
數(shù)與代數(shù) | 21 | 28 | 49 | 98 |
圖形與幾何 | 18 | 25 | 87 | 130 |
統(tǒng)計(jì)與概率 | 3 | 8 | 11 | 22 |
綜合與實(shí)踐 | 3 | 4 | 3 | 10 |
合計(jì) | 45 | 65 | 150 | 260 |
A.除了“綜合與實(shí)踐”外,其他三個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域的條目數(shù)都隨著學(xué)段的升高而增加,尤其“圖形與幾何”在第三學(xué)段急劇增加,約是第二學(xué)段的3.5倍
B.在所有內(nèi)容領(lǐng)域中,“圖形與幾何”內(nèi)容最多,占.“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容最少,約占
C.第一、二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容最多,第三學(xué)段“圖形與幾何”內(nèi)容最多
D.“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容條目數(shù)雖然隨著學(xué)段的增長而增長,而其百分比卻一直在減少.“圖形與幾何”內(nèi)容條目數(shù),百分比都隨學(xué)段的增長而增長
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(且a為常數(shù))和(且k為常數(shù)),有以下命題:①當(dāng)時(shí),函數(shù)沒有零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),若恰有3個(gè)不同的零點(diǎn),則;③對任意的,總存在實(shí)數(shù),使得有4個(gè)不同的零點(diǎn),且成等比數(shù)列.其中的真命題是_____(寫出所有真命題的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.如圖是趙爽弦圖及注文.弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成朱色及黃色,其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí).由2×勾×股+(股-勾)2=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí),化簡得勾2+股2=弦2.若圖中勾股形的勾股比為,向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲100顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘顆數(shù)大約為( )(參考數(shù)據(jù):,)
A.2B.4C.6D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為2,求的值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)為、,證明:.
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