Question

10．已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1，
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅱ）若sin²x+af（x+$\frac{π}{6}$）+1＞6cos⁴x對任意x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用兩角和余差的基本公式和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求出f（x+$\frac{π}{6}$）的值，帶到題設(shè)中去，化簡，求函數(shù)在x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）的最值，即可恒成立，從而求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1，
可得：f（x）=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z），
解得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$
所以：f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[{\;}\right.-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ\(zhòng)left.{\;}]，k∈Z$
（Ⅱ）由題意：當(dāng)$x∈（{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}）$時，$f（{x+\frac{π}{6}}）=2sin（{2x+\frac{π}{2}}）=2cos2x＞0$
原不等式等價于a•2cos2x＞6cos⁴x-sin²x-1，
即$a＞\frac{{6{{cos}^4}x-{{sin}^2}x-1}}{2cos2x}$恒成立  
令$g（x）=\frac{{6{{cos}^4}x-{{sin}^2}x-1}}{2cos2x}=\frac{{（2{{cos}^2}x-1）（3{{cos}^2}x+2）}}{{2（2{{cos}^2}x-1）}}$=$\frac{3}{2}{cos^2}x+1，（{cos^2}x≠\frac{1}{2}）$
∵$x∈（{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}）$，當(dāng)x=0時，cosx取得最大值，即cosx=1時，那么g（x）也取得最大值為$\frac{5}{2}$．
因此，$a＞\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的化簡能力和綜合運用能力，利用三角函數(shù)的由界限求最值和參數(shù)問題．屬于中檔題．