Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax+a．
（1）若f（x）的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=3ax²-ax+2+a，若f（x）+e^-x≥g（x）對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合題意得到關(guān)于a的不等式組，解出即可；
（2）f（x）+e^-x≥g（x）對(duì)x∈R恒成立?F（x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，求出F′（x）=e^x-e^-x-6ax，設(shè)h（x）=（F（x）′）′=e^x+e^-x-6a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）＞0，則函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾，
所以a＞0，令f′（x）=0，則x=lna，
當(dāng)x＜lna時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)x＞lna時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
于是當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）取得極小值；
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=e^x-ax+a，（a∈R）的圖象與x軸交于兩點(diǎn)，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{f（lna）＜0}\end{array}\right.$⇒a＞e²，
綜上所述：a∈（e²，+∞）為所求取值范圍．
（2）設(shè)F（x）=f（x）+e^-x-g（x）=e^x+e^-x-3ax²-2，
∵F（-x）=F（x）⇒F（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）+e^-x≥g（x）對(duì)x∈R恒成立
?F（x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，
F′（x）=e^x-e^-x-6ax，
設(shè)h（x）=（F（x）′）′=e^x+e^-x-6a，
h′（x）=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$≥0（x≥0），
∴h（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（0）=2-6a，
①當(dāng)2-6a≥0?a≤$\frac{1}{3}$時(shí)，
h（x）≥h（0）=2-6a≥0⇒F′（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F′（x）≥F′（0）=0，F(xiàn)（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F（x）≥F（0）=0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，
②當(dāng)2-6a＜0?a＞$\frac{1}{3}$時(shí)，h（0）=2-6a＜0，
∵h(yuǎn)（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（ln6a）=$\frac{1}{6a}$＞0，
故?x₀∈（0，+∞），使h（x₀）=0，
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h（x）＜0?F′（x）在（0，x₀）單調(diào)遞減
⇒F′（x）＜0，
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，此時(shí)，
F（x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）不恒成立，
綜上所述：當(dāng)a≤$\frac{1}{3}$時(shí)，F(xiàn)（x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立，
即f（x）+e^-x≥g（x）對(duì)x∈R恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．