Question

10．點(diǎn)P是在△ABC的內(nèi)心，已知AB=3，AC=4，∠A=90°．存在實(shí)數(shù)λ，μ，使$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則（　　）

• A． λ=$\frac{1}{3}$，μ=$\frac{1}{4}$
• B． λ=$\frac{1}{3}$，μ=$\frac{2}{9}$
• C． λ=$\frac{1}{2}$，μ=$\frac{1}{3}$
• D． λ=$\frac{1}{4}$，μ=$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求出內(nèi)切圓半徑，利用向量加法的幾何意義得出λ，μ．

解答 解∵AB=3，AC=4，∠A=90°，∴BC=5．
設(shè)三角形ABC的內(nèi)切圓半徑為r，過點(diǎn)P作三邊的垂線PD，PE，PF，
則四邊形ADPE是正方形，∴AD=AE=r，
CF=CD=4-r，BF=BE=3-r，
∴PB=CF+BF=7-2r=5．解得r=1．∴AE=$\frac{1}{3}AB$，AD=$\frac{1}{4}AC$．
∴$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$．
又$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，
∴λ=$\frac{1}{3}$，μ=$\frac{1}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．