Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，記的最小值為，求的解析式.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）當時，求出函數(shù)的解析式、定義域和導數(shù)，分別解不等式和，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（2）求得，然后分、和三種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進而可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由此可得出的解析式.

（1）當時，，定義域為，

.

令，得或；令，得.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2），，

令，得或.

①當時，對任意的，，

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；

②當時，若，則；若，則.

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以，；

③當時，對任意的，.

此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則.

綜上所述，.