Question

5．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁與底面ABC成角為θ，AB⊥AC．
（1）若θ=$\frac{π}{2}$，求證：AC⊥BA₁； 
（2）若M為A₁C₁的中點，問：A₁B上是否存在點N，使得MN∥平面BCC₁B₁？
若存在，求出$\frac{{{A_1}N}}{NB}$的值，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）θ=$\frac{π}{2}$時，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理即可得出．
（2）$\frac{{{A_1}N}}{NB}=1$，即點N為線段BA₁的中點．利用三角形中位線定理、線面平行的判定定理即可證明．

解答 （1）證明：θ=$\frac{π}{2}$時，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AC?平面ABCD，∴AA₁⊥AC，
又AB⊥AC，AA₁∩AC=A，∴AC⊥平面ABB₁A₁，BA₁?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥BA₁．
（2）解：$\frac{{{A_1}N}}{NB}=1$，即點N為線段BA₁的中點．
在△A₁BC₁中，連接MN，則MN∥BC₁．
又MN?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁．
∴MN∥平面BCC₁B₁．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定定理、三角形中位線定理、線面平行的判定定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．