Question

13．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C₁D₁，AD₁，BD的中點(diǎn)．
（1）求證：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求PQ的長；
（3）求證：EF∥平面BB₁D₁D．

Answer 1

分析 （1）連接AC，CD₁，由P，Q分別為AD₁、AC的中點(diǎn)，知PQ∥CD₁，由此能夠證明PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）利用（1）的結(jié)論，直接求解即可．
（3）取CD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，由已知得平面FGE∥平面BB₁D₁D，由此能證明EF∥平面BB₁D₁D．

解答 證明：（1）如圖所示，連接AC，CD₁，
∵P，Q分別為AD₁、AC的中點(diǎn)，
∴PQ∥CD₁，
∵CD₁?平面DCC₁D₁，PQ?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁．
解：（2）由題意，可得：PQ=$\frac{1}{2}{D}_{1}C$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

證明：（3）取CD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，
∵E，F(xiàn)分別是BC，C₁D₁的中點(diǎn)，
∴FG∥D₁D，EG∥BD，
又FG∩EG=G，
∴平面FGE∥平面BB₁D₁D，
∵EF?平面FGE，
∴EF∥平面BB₁D₁D．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的證明，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．是中檔題．