Question

19．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$以及雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的離心率為（　　）

• A． 2或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{6}$或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． 2或$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$或$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由雙曲線的漸近線的方程可得$\frac{a}$=tan30°或$\frac{a}$=tan60°，即為b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a或b=$\sqrt{3}$a，利用c²=a²+b²，將所得等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程即可解得離心率．

解答 解：雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
雙曲線C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由漸近線將第一象限三等分，可得：$\frac{a}$=tan30°或$\frac{a}$=tan60°，
即為b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a或b=$\sqrt{3}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a或c=2a，
即e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或e=2．
故選：A．

點評 本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的漸近線方程的運用以及雙曲線離心率的求法，考查運算能力，屬于中檔題．