Question

對(duì)于集合N={1，2，3，…，n}和它的每一個(gè)非空子集，定義一種求和稱之為“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5-4+3-2+1=3，集合{3}的交替和為3．當(dāng)集合N中的n=2時(shí)，集合N={1，2}的所有非空子集為{1}，{2}，{1，2}，則它的“交替和”的總和S₂=1+2+（2-1）=4，請(qǐng)你嘗試對(duì)n=3．n=4的情況，計(jì)算它的“交替和”的總和S3．S4，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜測(cè)集合N={1，2，3，…，n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和S_n=

 

．（不必給出證明）

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：n=3時(shí)，{1，2，3}的“交替和”的總和S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12=3×2^3-1；n=4時(shí)，{1，2，3，4}的“交替和”的總和S₄=32=4×2^4-1；
據(jù)計(jì)算結(jié)果猜測(cè)集合N={1，2，3，…，n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和S_n=n•2^n-1．

解答： 解：n=3時(shí)，{1，2，3}的“交替和”的總和S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12=3×2^3-1；
n=4時(shí)，{1，2，3，4}的“交替和”的總和S₄=1+2+3++4+（2-1）+（3-1）+（4-1）+（3-2）+（4-2）+（4-3）+（3-2+1）+（4-2+1）+（4-3+1）+（4-3+2）+（4-3+2-1）
=32=4×2^4-1；
據(jù)計(jì)算結(jié)果猜測(cè)集合N={1，2，3，…，n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和S_n=n•2^n-1．
故答案為：n•2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合的性質(zhì)、新定義“交替和”，考查了觀察分析猜想歸納能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．