Question

15．已知函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）若函數(shù)g（x）=f（x）-x²-x-a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 解出g（x）=x+1-2ln（x+1）-a，原題設(shè)即方程1+x-2ln（1+x）=a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個相異實根，令h（x）=1+x-2ln（1+x），這時只需解出h（x）在[0，2]上的值域，畫出圖象，可以得出a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）得：
g（x）=（1+x）²-2ln（1+x）-（x²+x+a）=x+1-2ln（x+1）-a
原題設(shè)即方程1+x-2ln（1+x）=a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個相異實根．
設(shè)h（x）=（1+x）-2ln（1+x）．∵h′（x）=1-$\frac{2}{1+x}$=$\frac{x-1}{x+1}$，
列表如下：

∵h（0）-h（2）=1-（3-2ln3）=2（ln3-1）＞2（lne-1）=0，∴h（0）＞h（2）．
從而有h（x）_max=1，h（x）_min=2-2ln2
畫出函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，2]上的草圖（如圖）
易知要使方程h（x）=a在區(qū)間（0，2]上恰有兩個相異實根，
只需：2-2ln2＜a≤3-2ln3，
即：a∈（2-2ln2，3-2ln3]．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題經(jīng)過等價變換，只需求h（x）=（1+x）-2ln（1+x）的值域，再根據(jù)圖象，解出a的取值范圍．在教學(xué)中，多加強訓(xùn)練和指導(dǎo)，以便掌握其要領(lǐng)．