Question

已知函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，設(shè)F（x）=f（x）-f（2-x）．
（1）用定義證明：F（x）=f（x）-f（2-x）是R上的增函數(shù)；
（2）證明：如果x₁+x₂＞2，則F（x₁）+F（x₂）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）任取x₁＞x₂，則2-x₂＞2-x₁，將F（x₁）-F（x₂）整理合并，并運(yùn)用已知的單調(diào)性，即可得證；
（2）由x₁+x₂＞2，得x₁＞2-x₂，且x₂＞2-x₁，再運(yùn)用f（x）的單調(diào)性，由累加法即可得證．

解答： （1）證明：任取x₁＞x₂，則2-x₂＞2-x₁，
F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）-f（2-x₁）-[f（x₂）-f（2-x₂）]
=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]
∵x₁＞x₂，又∵f（x）是增函數(shù)，∴f（x₁）＞f（x₂），
且f（2-x₂）＞f（2-x₁），∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]＞0，
即F（x₁）＞F（x₂），故F（x）=f（x）-f（2-x）是增函數(shù)．    
（2）證明：由x₁+x₂＞2，得x₁＞2-x₂，且x₂＞2-x₁，
又∵f（x）是增函數(shù)，∴f（x₁）＞f（2-x₂），f（x₂）＞f（2-x₁），
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（2-x₁）+f（2-x₂）
∴[f（x₁）-f（2-x₁）]+[f（x₂）-f（2-x₂）]＞0，即F（x₁）+F（x₂）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，考查運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義證明不等式，注意定義域，化簡(jiǎn)與合并，重要的變形是迅速解題的關(guān)鍵．