分析 (1)利用導(dǎo)數(shù)的正負,即可證明;
(2)求出g(x)=x+$\frac{4}{x}$,又g(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)關(guān)于原點對稱,利用奇函數(shù)的定義進行判斷;
(3)由(2)知f(x)=m可化為x+$\frac{4}{x}$=m-4(m≥8),再分類討論,即可得出結(jié)論.
解答 證明:(1)由題意:f(x)=x+$\frac{4}{x}$+a,
∴f′(x)=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$,
∴0<x<2時,f′(x)<0,x>2時,f′(x)>0,
∴函數(shù)f(x)在(0,2]上是減函數(shù),(2,+∞)上是增函數(shù) …(4分)
解:(2)由題意知方程x2+ax+4=0有且只有一個實數(shù)根
∴△=a2-16=0,
又a>0,∴a=4.…(5分)
此時f(x)=x+$\frac{4}{x}$+4,g(x)=x+$\frac{4}{x}$,
又g(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)關(guān)于原點對稱,…(6分)
且g(-x)=-x-$\frac{4}{x}$=-g(x),…(7分)
∴g(x)是奇函數(shù) …(8分)
(3)由(2)知f(x)=m可化為x+$\frac{4}{x}$=m-4(m≥8)…(9分)
又由(1)(2)知:
當m-4=4 即m=8時f(x)=m只有一解 …(10分)
當m-4>4即m>8時f(x)=m有兩解 …(11分)
綜上,當m=8時f(x)=m只有一解;當m>8時f(x)=m有兩解; …(12分)
點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,考查方程解的個數(shù)的判斷,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | [2,+∞) | B. | (-∞,-1] | C. | (-∞,-1]∪[2,+∞) | D. | (-∞,-1)∪(2,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $y=\frac{1}{x}$ | B. | y=1g|x| | C. | y=cosx | D. | y=x2+2x |
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