【題目】如圖，已知分別是的外心、內(nèi)心，與不重合，在的內(nèi)部或邊上，且或者在的內(nèi)部或者，試求出使得等式成立的一個(gè)充要條件（用關(guān)于的內(nèi)角的條件表示）。

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

所求的充要條件是或

充分性。

如圖，若，則，

。

從而，。

所以，四點(diǎn)共圓.

故.

于是，.

若，則在的外部，如圖，由題意知必有。由對(duì)稱(chēng)性可知三點(diǎn)共線，，且在線段上.顯然

.

故.

必要性。

設(shè)，在的內(nèi)部或邊上。下面分兩種情形討論.

1.若，則由對(duì)稱(chēng)性得三點(diǎn)共線，。因?yàn)?/span>在的內(nèi)部或邊上，所以，必在線段上（如圖）.

于是，。

代入，解得.

2.若在的內(nèi)部，則為銳角三角形.下證：必有，從而，。為此分三種情形討論.

ⅰ.若，則，這與為銳角三角形矛盾.

ⅱ.若，則，

.

所以，.

從而，在的外接圓的內(nèi)部（如圖），故。解得，這與矛盾.

ⅲ.若，類(lèi)似ⅱ的推論過(guò)程得到矛盾.

故，.

綜上所述，的一個(gè)充要條件是或.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】現(xiàn)有形狀、大小都相同的5張卡片，其中有2張卡片寫(xiě)著文字“中”，2張卡片寫(xiě)著文字“國(guó)”，1張卡片寫(xiě)著文字“夢(mèng)”.若從中任意取出3張，則取出的3張卡片上的文字能組成“中國(guó)夢(mèng)”的概率為____

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市為了增強(qiáng)民眾防控病毒的意識(shí)，舉行了“預(yù)防新冠病毒知識(shí)競(jìng)賽”網(wǎng)上答題，隨機(jī)抽取人，答題成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示.

（1）由直方圖可認(rèn)為答題者的成績(jī)服從正態(tài)分布，其中，分別為答題者的平均成績(jī)和成績(jī)的方差，那么這名答題者成績(jī)超過(guò)分的人數(shù)估計(jì)有多少人？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值作代表）

（2）如果成績(jī)超過(guò)分的民眾我們認(rèn)為是“防御知識(shí)合格者”，用這名答題者的成績(jī)來(lái)估計(jì)全市的民眾，現(xiàn)從全市中隨機(jī)抽取人，“防御知識(shí)合格者”的人數(shù)為，求.（精確到）

附：①，；②，則，；③，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2018年為我國(guó)改革開(kāi)放40周年，某事業(yè)單位共有職工600人，其年齡與人數(shù)分布表如下：

年齡段

人數(shù)（單位：人）

180

180

160

80

約定：此單位45歲~59歲為中年人，其余為青年人，現(xiàn)按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會(huì)的觀眾.

（1）抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人？

（2）若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關(guān)心民生大事，其余人熱衷關(guān)心民生大事.完成下列列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)？

熱衷關(guān)心民生大事

不熱衷關(guān)心民生大事

總計(jì)

青年

12

中年

5

總計(jì)

30

（3）若從熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾（其中1人擅長(zhǎng)歌舞，3人擅長(zhǎng)樂(lè)器）中，隨機(jī)抽取2人上臺(tái)表演節(jié)目，則抽出的2人能勝任才藝表演的概率是多少？

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

(1) 討論的單調(diào)性；

(2) 設(shè)，當(dāng)時(shí)， ，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.己知

點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為, （為參數(shù)).曲線和曲線相交于兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)的直角坐標(biāo);

(2)求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;

(3)求的面枳,

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了調(diào)查某品牌飲料的某種食品添加劑是否超標(biāo)，現(xiàn)對(duì)該品牌下的兩種飲料一種是碳酸飲料含二氧化碳，另一種是果汁飲料不含二氧化碳進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了碳酸飲料、果汁飲料各10瓶均是組成的一個(gè)樣本，進(jìn)行了檢測(cè)，得到了如下莖葉圖根據(jù)國(guó)家食品安全規(guī)定當(dāng)該種添加劑的指標(biāo)大于毫克為偏高，反之即為正常．

（1）依據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，完成下列列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為食品添加劑是否偏高與是否含二氧化碳有關(guān)系？

正常

偏高

合計(jì)

碳酸飲料

果汁飲料

合計(jì)

（2）現(xiàn)從食品添加劑偏高的樣本中隨機(jī)抽取2瓶飲料去做其它檢測(cè)，求這兩種飲料都被抽到的概率．

參考公式：，其中

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有甲、乙兩家公司都需要招聘求職者,這兩家公司的聘用信息如下：

甲公司

乙公司

職位

A

B

C

D

職位

A

B

C

D

月薪/元

6000

7000

8000

9000

月薪/元

5000

7000

9000

11000

獲得相應(yīng)職位概率

0.4

0.3

0.2

0.1

獲得相應(yīng)職位概率

0.4

0.3

0.2

0.1

（1）根據(jù)以上信息,如果你是該求職者,你會(huì)選擇哪一家公司？說(shuō)明理由;

（2）某課外實(shí)習(xí)作業(yè)小組調(diào)查了1000名職場(chǎng)人士,就選擇這兩家公司的意愿做了統(tǒng)計(jì),得到以下數(shù)據(jù)分布：

選擇意愿

人員結(jié)構(gòu)

40歲以上（含40歲）男性

40歲以上（含40歲）女性

40歲以下男性

40歲以下女性

選擇甲公司

110

120

140

80

選擇乙公司

150

90

200

110

若分析選擇意愿與年齡這兩個(gè)分類(lèi)變量,計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值為k1＝5.5513,測(cè)得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率的上限是多少？并用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析,選擇意愿與年齡變量和性別變量哪一個(gè)關(guān)聯(lián)性更大？

附：

0.050

0.025

0.010

0.005

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在處有極值．

（1）求的解析式；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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