Question

18．如圖，一根木棒AB長為2米，斜靠在墻壁AC上，∠ABC=60°，若AB滑動至A₁B₁位置，且$A{A_1}=（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$米，則①BB₁=$\sqrt{2}$-1米；②木棒AB的中點D所經(jīng)過的路程為$\frac{π}{12}$米．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A₁B₁=CO′，即O運動所經(jīng)過的路線是一段圓弧；在Rt△ACB中，根據(jù)直角三角形三邊的關(guān)系得到∠ACO=30°，CA=$\sqrt{3}$，BC=1，則易求出CA₁=CA-CA₁=$\sqrt{2}$，BB₁=$\sqrt{2}$-1，即可得到∠A₁CO′=45°，∠OCO′=15°，然后根據(jù)弧長公式計算即可．

解答 解：連接CO、CO′，如圖，
∵CA⊥CB，O為AB中點，O′為A₁B₁的中點
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A₁B₁=CO′，
∵AB=2，
∴CO=1，
當A端下滑B端右滑時，AB的中點O到C的距離始終為定長1，
∴O運動所經(jīng)過的路線是一段圓弧，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACO=30°，CA=$\sqrt{3}$，BC=1
∵$A{A_1}=（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$，
CA₁=CA-CA₁=$\sqrt{2}$，BB₁=$\sqrt{2}$-1，
∴sin∠A₁B₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A₁B₁C=45°，
∴∠A₁CO′=45°
∴∠OCO′=15°，
∴弧OO′的長=$\frac{15π}{180}$=$\frac{π}{12}$，
即O點運動到O′所經(jīng)過路線OO′的長為$\frac{π}{12}$米．
故答案為：$\sqrt{2}-1$；$\frac{π}{12}$．

點評 本題考查了動點的運動軌跡問題，解答的關(guān)鍵是明確AB中點在以C為圓心的圓弧上運動，考查了弧長公式及直角三角形中的邊角關(guān)系，是中檔題．