Question

13．甲、乙兩人分別搖一個正方形骰子，骰子的每一面上分別標有1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字，記骰子朝上的一面所標數(shù)字分別為兩人的得分．
（1）若兩人誰的得分高誰就獲勝（若得分相同則為平局），求甲獲勝的概率；
（2）若規(guī)定甲、乙兩人的得分之和小于等于a（a∈[2，12]）時，甲就獲勝，否則乙獲勝．問當a取何值時，甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率？

Answer 1

分析 （1）用（x，y）（x表示甲的得分，y表示乙的得分）表示甲、乙各搖一骰子構成的基本事件，利用列舉法能求出甲獲勝的概率．
（2）記“甲獲勝”為事件B，“乙獲勝”為事件C．分別利用列舉法求出a=6和a=7時，甲獲勝的概率和乙獲勝的概率，從而得到當a=7，8，9，10，11，12時，甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率．

解答 解：（1）用（x，y）（x表示甲的得分，y表示乙的得分）表示甲、乙各搖一骰子構成的基本事件，
則基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），
（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），
（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36個；       …（2分）
記“甲獲勝”為事件A，則事件A包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），
（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），
（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共有15個，…（4分）
則$P（A）=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$．…（6分）
（2）記“甲獲勝”為事件B，“乙獲勝”為事件C．
當a=6時，事件B所包含的基本事件有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1），共有15個，
則$P（B）=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$．所以$P（C）=1-P（B）=\frac{7}{12}$．所以P（B）＜P（C）；…（8分）
當a=7時，事件B所包含的基本事件有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），
（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（6，1），共有21個，
則$P（B）=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$．所以$P（C）=1-P（B）=\frac{5}{12}$．所以P（B）＞P（C）；…（10分）
當a的值越大，“甲獲勝”的概率也就越大，
所以當a=7，8，9，10，11，12時，甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．