Question

若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同時(shí)為0），則稱函數(shù)y=f（x）為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)f（x）的“中心點(diǎn)”．現(xiàn)有如下命題：
①函數(shù)f（x）=sinx+1是準(zhǔn)奇函數(shù)；
②若準(zhǔn)奇函數(shù)y=f（x）在R上的“中心點(diǎn)”為（a，f（a）），則函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）不是R上的奇函數(shù)；
③已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+6x-2是準(zhǔn)奇函數(shù)，則它的“中心點(diǎn)”為（1，2）；
④已知函數(shù)f（x）=2x-cosx為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，數(shù)列{a_n}是公差為

π

8

的等差數(shù)列，若

7

n=1

f（a_n）=7π（其中

n

i=1

a_i表示

n

i=1

a_i=a₁+a₂+…+a_n），則

[f(a4)]2

a1•a7

=

64

7

其中正確的命題是

 

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①f（0+x）+f（0-x）=2，得a=0，b=1，滿足“準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義，
②根據(jù)函數(shù)“準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義，利用函數(shù)奇偶性的定義即可證明函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)．
③f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，得點(diǎn)（1，2）為函數(shù)f（x）的“中心點(diǎn)”，
④根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出a₁，a₄，a₇的值，代入進(jìn)行求解即可．

解答： 解：①∵函數(shù)f（x）=sinx+1，∴f（0+x）+f（0-x）=2，∴a=0，b=1，滿足“準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義，故①正確；
②若F（x）=f（x+a）-f（a），則F（-x）+F（x）=f（x+a）-f（a）+f（-x+a）-f（a）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a），
∵f（x）在R上的“中心點(diǎn)”為（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a），
即F（-x）+F（x）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a）=0，
∴F（-x）=-F（x），∴函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)，∴②錯(cuò)誤．
③函數(shù)f（x）=x³-3x²+6x-2，∴f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，
∴點(diǎn)（1，2）為函數(shù)f（x）的“中心點(diǎn)”，③正確；
④f（x）=2x-cosx，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=2（a₁+a₂+…+a₇）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₇），
∵{a_n}是公差d=

π

8

的等差數(shù)列，
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄，
cosa₁+cosa₂+…+cosa₇=cos（a₄-3d）+cos（a₄-2d）+（cos（a₄-d）+cosd+cos（a₄+d）+cos（a₄+2d）+cos（a₄+3d）=2cosa₄（cos3d+cos2d+cosd），
∴由 若

7

n=1

f（a_n）=7π，∴f（a_n）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=7π，
得14a₄-2cosa₄（cos3d+cos2d+cosd）=7π，
∴必有14a₄=7π，且cosa₄=0，
故a₄=

π

2

，
∵公差d=

π

8

，
∴a₁=

π

8

，a₇=

7π

8

，
∴f（a₄）=2×

π

2

-cos

π

2

=π，有a₁a₇=

π

8

×

7π

8

=

7π2

64

，則

[f(a4)]2

a1•a7

=

64

7

，∴④正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)中心的定義的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量量較大，難度非常大．