Question

6．已知xlnx-（1+a）x+1≥0對(duì)任意$x∈[\frac{1}{2}，2]$恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意xlnx-（1+a）x+1≥0對(duì)任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{xlnx-x+1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立即可；

解答 解：由題意xlnx-（1+a）x+1≥0對(duì)任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
即a≤$\frac{xlnx-x+1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
令h（x）=$\frac{xlnx-x+1}{x}$=lnx+$\frac{1}{x}$-1；
h'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，令h'（x）=0解得x=1；
當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，1]時(shí)，h'（x）＜0，h（x）為單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，h'（x）＞0，h（x）為單調(diào)增函數(shù)；
所以h（x）的最小值為h（1）=0
所以，a的最大值為0；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)求值以及導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，屬中等題．