Question

下列不等式中一定成立的個數(shù)是（　　）
①sinx＜x（x＞0）．
②ln x＞x-1（x＞1），
③e^x≥1+x （x∈R）．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：不等式比較大小

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：①令f（x）=sinx-x（x＞0），則f′（x）=cosx-1≤0，因此函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（0）=0，∴sinx＜x．因此成立．
②令g（x）=lnx-（x-1）（x＞1），則g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

＜0，因此函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（1）=0，∴l(xiāng)nx＜x-1．因此不成立．
③令h（x）=e^x-（x+1）（x∈R），則h′（x）=e^x-1，令h′（x）＞0，解得x＞0，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；令h′（x）＜0，解得x＜0，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
因此x=0時，函數(shù)h（x）取得最小值，∴h（x）≥h（0）=0，∴e^x≥1+x，因此成立．
綜上可得：成立的個數(shù)是2．
故選：C．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．