已知函數(shù)).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)?若存在,請指出有幾個零點(diǎn);若不存在,請說明理由;

(3)若,當(dāng)時,不等式恒成立,求a的取值范圍.

 

(1)當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(2)當(dāng)時,函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn);當(dāng)時,函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn);當(dāng)時,函數(shù)沒有零點(diǎn);(3)的取值范圍是

【解析】

試題分析:(1)首先求導(dǎo):,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號確定其單調(diào)性.時,函數(shù)單調(diào)遞增;時,函數(shù)單調(diào)減;(2)首先分離參數(shù).由,得.令),下面就利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì),然后結(jié)合圖象便可得知的零點(diǎn)的個數(shù);(3)注意是一個確定的函數(shù),為了弄清何時成立,首先弄清的大小關(guān)系,然后利用(1)題的結(jié)果即可知道, 取何值時上恒成立.

(1)由,則

當(dāng)時,對,有,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,由,得;由,得,

此時函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為

綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;

當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為. 4分

(2)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111507042839147087/SYS201411150704340323707780_DA/SYS201411150704340323707780_DA.043.png">,由,得), 5分

),則, 6分

由于,,可知當(dāng),;當(dāng)時,,

故函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故. 7分

又由(1)知當(dāng)時,對,有,即,

(隨著的增長,的增長速度越越快,會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長速度,而的增長速度則會越越慢.則當(dāng)無限接近于0時,趨向于正無窮大.)

當(dāng)時,函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn);

當(dāng)時,函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn);

當(dāng)時,函數(shù)沒有零點(diǎn). 9分

(3)由(2)知當(dāng)時,,故對,

先分析法證明:. 10分

要證,,

只需證,

即證,

構(gòu)造函數(shù),則,

故函數(shù)單調(diào)遞增,所以,則成立. 12分

當(dāng)時,由(1),單調(diào)遞增,則上恒成立;

當(dāng)時,由(1),函數(shù)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,

故當(dāng)時,,所以,則不滿足題意.

所以滿足題意的的取值范圍是. 14分

考點(diǎn):1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用;2、函數(shù)的零點(diǎn);3、導(dǎo)數(shù)與不等式.

 

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若集合,則集合( )

A. B.

C. D.

 

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8. 設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f ′(x),且函數(shù)f(x)在x=﹣2處取得極小值,則函數(shù)y=xf ′(x)的圖象可能是( )

A B C D

 

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一幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )

A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π

 

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設(shè)平面向量,,函數(shù)

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的取值范圍;

(2)當(dāng),且時,求的值.

 

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設(shè)P是雙曲線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),△的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)M,則( )

(A) (B) (C) (D)

 

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頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸是y軸,并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程是__________.

 

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