3．在區(qū)間[0，1]上給定曲線y=x2．試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值．

分析 先利用定積分分別表示出陰影部分的面積S1與S2，然后求出S1+S2關(guān)于t的函數(shù)解析式和定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值．

解答 解　S1面積等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線y=x2與x軸、直線x=t所圍成的面積，即S1=t•t2-?${\;}_{0}^{t}$x2dx=$\frac{2}{3}$t3．
S2的面積等于曲線y=x2與x軸，x=t，x=1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2，1-t，即S2=?${\;}_{t}^{1}$x2dx-t2（1-t）=$\frac{2}{3}$t3-t2+$\frac{1}{3}$．
所以陰影部分面積S=S1+S2=$\frac{4}{3}$t3-t2+$\frac{1}{3}$（0≤t≤1）．
令S′（t）=4t2-2t=4t（t-$\frac{1}{2}$）=0時，得t=0或t=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)t=0時，S=$\frac{1}{3}$；
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，S=$\frac{1}{4}$；
當(dāng)t=1時，S=$\frac{2}{3}$．
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，S最小，且最小值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)最值，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．在同一直角坐標(biāo)系中，方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$后的圖形所對應(yīng)的方程為（　�。�
A．$\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{16}=1$B．x2+y2=1C．$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{8}=1$D．$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

14．給出下列例題：
①若奇函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)任意x都有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）為周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=（x-3）e-x的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）；
③若函數(shù)f（x）=f'（$\frac{π}{4}$）cosx+sinx，則f（$\frac{π}{4}$）的值為1；
④函數(shù)f（x）=2|x||log0.5x|-1的零點(diǎn)的個數(shù)為2，
其中真命題是①③④（將你認(rèn)為真命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

11．以下四個命題中：
①已知圓C上一定點(diǎn)A和一動點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}$），則動點(diǎn)P的軌跡為圓；
②設(shè)A、B為兩個定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|$\overrightarrow{PA}}$|-|${\overrightarrow{PB}}$|=k，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
③0＜θ＜$\frac{π}{4}$，則雙曲線C1：$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}-\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1與C2：$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}-\frac{x^2}{{{{sin}^2}θ{{tan}^2}θ}}$=1的離心率相同；
④已知兩定點(diǎn)F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）和一動點(diǎn)P，若|PF1|•|PF2|=a2（a≠0），則點(diǎn)P的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對稱．
其中正確命題的序號為①③④        ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．下列說法
①當(dāng)x＞0且x≠1時，有l(wèi)nx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
②△ABC中，a＞b是sinA＞sinB 成立的充要條件；
③函數(shù)y=3sin2x+$\sqrt{3}$cos2x的圖象可以由函數(shù)y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位得到；
④已知sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S7＞S5，則S9＞S3．；
⑤函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
其中正確的命題的序號為②④．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱．則稱點(diǎn)對[P，Q]是函數(shù)y=f（x）的一對“友好點(diǎn)對”（點(diǎn)對[P，Q]與[Q，P]看作同一對“友好點(diǎn)對”）．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對”有2對．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．設(shè)函數(shù)f（x）=e3x-1，則f″（$\frac{1}{3}$）=9．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a$=（cos2x+1，1），$\overrightarrow b$=（1，$\sqrt{3}$sin2x-1）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期、最大值和最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．已知f（x）=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，A為銳角且f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AD}$，AB=$\sqrt{3}$，AD=2，求sin∠BAD．

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