Question

已知方程x²-2ax-b²+16=0（a，b∈R）．
（1）若a，b分別是一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩個不同正根的概率；
（2）若a∈[0，6]，b∈[0，4]，求方程沒有實根的概率．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）這是一個古典概型問題，總件數(shù)由分步計數(shù)原理知是36，滿足條件的事件數(shù)在整理時要借助于根與系數(shù)之間的關系，根的判別式，要進行討論得到結果；
（2）本題是一個幾何概型，試驗的全部結果構成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤4}，滿足條件的事件為：B={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤4，a²+b²＜16}，做出兩者的面積，得到概率．

解答： 解：（1）基本事件（a，b）共有36個，方程有不同正根等價于

2a＞0 16-b2＞0 △＞0

⇒

a＞0 -4＜b＜4 a2+b2＞16.

設“方程有兩個不同正根”為事件A，則事件A包含的基本事件為（6，1），（6，2），（6，3），（5，1），（5，2），（5，3），（4，1），（4，2），（4，3），（3，3），共10個，
故所求的概率為P（A）=

10

36

=

5

18

.6分
（2）試驗的全部結果構成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤4}，其面積為S（Ω）=24，
設“方程無實根”為事件B，則構成事件B的區(qū)域為B={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤4，a²+b²＜16}，
其面積為S（B）=

1

4

×π×4²=4π，
故所求的概率為P（B）=

4π

24

=

π

6

.12分．

點評：本題考查古典概型和幾何概型，解決古典概型問題時，先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)．