Question

15．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，則$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{3b}$（e為橢圓的離心率）的最小值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 連接PF₁，OQ，運(yùn)用中位線定理可得OQ∥PF₁，|OQ|=$\frac{1}{2}$|PF₁|，求得|PF₁|=2b，由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，可得|PF₂|=2a-2b，運(yùn)用勾股定理，化簡(jiǎn)可得3b=2a，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，求得$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{3b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{5}{9}}{2a}$=$\frac{1}{2}$（a+$\frac{5}{9a}$），運(yùn)用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：連接PF₁，OQ，
由OQ為中位線，可得OQ∥PF₁，|OQ|=$\frac{1}{2}$|PF₁|，
圓x²+y²=b²，可得|OQ|=b，即有|PF₁|=2b，
由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
可得|PF₂|=2a-2b，
又OQ⊥PF₂，可得PF₁⊥PF₂，
即有（2b）²+（2a-2b）²=（2c）²，
即為b²+a²-2ab+b²=c²=a²-b²，
化為2a=3b，即b=$\frac{2}{3}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
則$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{3b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{5}{9}}{2a}$=$\frac{1}{2}$（a+$\frac{5}{9a}$）≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{a•\frac{5}{9a}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{5}{9a}$，即a=$\frac{\sqrt{5}}{3}$時(shí)，取得最小值$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和基本不等式，考查圓的切線的性質(zhì)的運(yùn)用，以及中位線定理和勾股定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．