Question

7．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF|+|BF|=14，點(diǎn)F關(guān)于l對稱點(diǎn)M在橢圓E上，則F坐標(biāo)為（5，0）．

Answer 1

分析 設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，可得14=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．解得a=7，取M（m，n），運(yùn)用對稱可得$\frac{n}{m-c}$=-$\frac{4}{3}$，3•$\frac{m+c}{2}$-4•$\frac{n}{2}$=0，解得m，n，代入橢圓方程，解得c=5，即可得到所求F的坐標(biāo)．

解答 解：如圖所示，
設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，BF′，
則四邊形AFBF′是平行四邊形，
可得|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=14，解得a=7．
設(shè)M（m，n），由點(diǎn)F（c，0）關(guān)于l對稱點(diǎn)為M，可得
$\frac{n}{m-c}$=-$\frac{4}{3}$，3•$\frac{m+c}{2}$-4•$\frac{n}{2}$=0，
解得m=$\frac{7}{25}$c，n=$\frac{24}{25}$c，
將M（$\frac{7}{25}$c，$\frac{24}{25}$c）代入橢圓方程，可得
$\frac{49{c}^{2}}{625×49}$+$\frac{576{c}^{2}}{625×（49-{c}^{2}）}$=1，
解得c=5，即F（5，0）．
故答案為：（5，0）．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計算能力，屬于中檔題．