Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1（a∈R）．若f（x）在區(qū)間（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}}$）內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{7}{4}，+∞}）$
• B． [2，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由f′（x）=3x²+2ax+1＜0的解集是（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}}$），得到不等式，從而求出a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+1＜0的解集是（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}-\frac{4a}{3}+1≤0}\\{\frac{1}{3}-\frac{2a}{3}+1≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{7}{4}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．