Question

14．△ABC的三邊長a，b，c和面積S滿足S=$\frac{1}{2}$[c²-（a-b）²]．
（1）求cosC；
（2）若c=2，且2sinAcosC=sinB，求b的長．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面積計算公式、余弦定理即可得出；
（2）利用正弦定理余弦定理即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵S=$\frac{1}{2}$[c²-（a-b）²]=$\frac{1}{2}（{c}^{2}-{a}^{2}-^{2}+2ab）$=$\frac{1}{2}（2ab-2abcosC）$=$\frac{1}{2}absinC$，
∴sinC+2cosC=2，又sin²C+cos²C=1，解得cosC=$\frac{3}{5}$或1（舍去）．
∴cosC=$\frac{3}{5}$．
（2）∵2sinAcosC=sinB，
∴2acosC=b，∴2a×$\frac{3}{5}$=b，化為a=$\frac{5b}{6}$．
由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（\frac{5b}{6}）^{2}+^{2}-{2}^{2}}{2×\frac{5b}{6}×b}$=$\frac{3}{5}$，解得b=$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查了三角形面積計算公式、余弦定理正弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．