15.已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b(a,b∈R),且f(x)在x=$\frac{\sqrt{3e}}{3}$時(shí)取極小值0(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求a,b的值;
(2)記g(x)=(-a)x,m、n是函數(shù)g(x)定義域內(nèi)的任意值,且m≠n,判斷g($\frac{m+n}{2}$)、$\frac{g(m)+g(n)}{2}$、$\frac{g(m)-g(n)}{m-n}$的大小,并說明理由.

分析 (1)因?yàn)閒(x)在x=$\frac{\sqrt{3}e}{3}$時(shí)取極小值0,所以$\left\{\begin{array}{l}{f(\frac{\sqrt{3}e}{3})=0}\\{f'(\frac{\sqrt{3}e}{3})=0}\end{array}\right.$,列出方程直接可求出;
(2)由題意g(x)=ex,利用作差法與構(gòu)造新函數(shù)h(x)=(x-2)ex+x+2 (x>0),利用函數(shù)單調(diào)性判斷h(x)>0即可;利用作商法求證$\frac{g(m)+g(n)}{2}$>g($\frac{m+n}{2}$);利用數(shù)形結(jié)合方法推導(dǎo) $\frac{g(m)-g(n)}{m-n}$>g($\frac{M+n}{2}$).

解答 解:(1)因?yàn)閒(x)在x=$\frac{\sqrt{3}e}{3}$時(shí)取極小值0,所以$\left\{\begin{array}{l}{f(\frac{\sqrt{3}e}{3})=0}\\{f'(\frac{\sqrt{3}e}{3})=0}\end{array}\right.$,
因?yàn)閒(x)=x3+ax+b,所以f'(x)=3x2+a,
所以$(\frac{\sqrt{3}e}{3})^{3}+\frac{\sqrt{3}e}{3}a+b=0$,
3$(\frac{\sqrt{3}e}{3})^{2}+a$=0,
解得:a=-e,b=$\frac{2\sqrt{3e}e}{9}$.
(2)因?yàn)閍=-e,所以g(x)=ex,
所以$\frac{g(m)+g(n)}{2}=\frac{{e}^{m}+{e}^{n}}{2}$,
$\frac{g(m)-g(n)}{m-n}=\frac{{e}^{m}-{e}^{n}}{m-n}$,
設(shè)m>n,此時(shí)$\frac{g(m)+g(n)}{2}>0$,$\frac{g(m)-g(n)}{m-n}>0$,
$\frac{g(m)+g(n)}{2}-\frac{g(m)-g(n)}{m-n}$
=$\frac{{e}^{m}+{e}^{n}}{2}$-$\frac{{e}^{m}-{e}^{n}}{m-n}$
=$\frac{{e}^{n}[(m-n-2){e}^{m-n}+(m-n+2)]}{2(m-n)}$,
令h(x)=(x-2)ex+x+2 (x>0),
所以h'(x)=(x-1)ex+1 (x>0),
h''(x)=xex  (x>0),
因?yàn)閤>0,所以h''(x)>0,所以y=h'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x>0時(shí),h'(x)>h'(0)=0,
所以y=h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x>0時(shí),h(x)>h(0)=0,
又因?yàn)閙>n,
所以$\frac{g(m)+g(n)}{2}-\frac{g(m)-g(n)}{m-n}$>0,
即$\frac{g(m)+g(n)}{2}$>$\frac{g(m)-g(n)}{m-n}$;

令k(x)=$\frac{g(\frac{m+n}{2})}{\frac{g(m)+g(n)}{2}}$=$\frac{2{e}^{\frac{m}{2}•}{e}^{\frac{n}{2}}}{{e}^{m}+{e}^{n}}$,
則$\frac{1}{k(x)}$=$\frac{{e}^{m}+{e}^{n}}{2{e}^{\frac{m}{2}•}{e}^{\frac{n}{2}}}$=$\frac{1}{2}$ ($\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{{e}^{\frac{n}{2}}}$+$\frac{{e}^{\frac{n}{2}}}{{e}^{\frac{m}{2}}}$)>1,
所以k(x)<1⇒g($\frac{m+n}{2}$)<$\frac{g(m)+g(n)}{2}$;
因?yàn)間(x)=ex是單調(diào)遞增函數(shù),所以$\frac{g(m)+g(n)}{2}$>g($\frac{m+n}{2}$);
根據(jù)圖象:
$\frac{g(m)-g(n)}{m-n}$ 是圖中直角三角形斜邊的斜率;
只有當(dāng)s>$\frac{m+n}{2}$時(shí),才存在
g'(s)=$\frac{g(m)-g(n)}{m-n}$ 成立.
因?yàn)間(x)=g'(x)
所以$\frac{g(m)-g(n)}{m-n}=g(s)\\;>\\;g(\frac{m+n}{2})$>g($\frac{M+n}{2}$)

故:g($\frac{m+n}{2}$)<$\frac{g(m)-g(n)}{m-n}$<$\frac{g(m)+g(n)}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與最值,以及作差與作商比較大小,數(shù)學(xué)結(jié)合思想等知識(shí)點(diǎn),屬中等偏上題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.給出定義:若$m-\frac{1}{2}<x≤m+\frac{1}{2}$(m為整數(shù)),則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù),記作{x}=m.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=|x-{x}|的四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?[0,\frac{1}{2}]$;
②函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線$x=\frac{k}{2}(k∈Z)$對(duì)稱;
③函數(shù)y=f(x)在$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$上是增函數(shù);
④對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(-x)=f(x)
其中正確結(jié)論的序號(hào)是(  )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.已知sinα=-$\frac{3}{5}$,且α是第三象限角,則cosα=(  )
A.-$\frac{2}{5}$B.-$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.求不等式$\frac{x+1}{|x|-1}$>0的解.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.已知f(x+1)為偶函數(shù),且f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.若a=f(2),b=f(log43),c=f($\frac{1}{2}$),則有( 。
A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1+a5=-20,a3+a8=-10.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(2)當(dāng)n取何值時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最。坎⑶蟪龃俗钚≈担

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.已知橢圓$\frac{x^2}{36}$+$\frac{y^2}{16}$=1上的一點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離與左焦點(diǎn)F1到原點(diǎn)的距離相等,則△OMF1的面積為8.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)a=$\sqrt{6}$,b=1,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;
(2)與雙曲線$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1有相同焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)(3$\sqrt{2}$,2)的雙曲線.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

5.若圓C1:x2+y2=16與圓C2:(x-a)2+y2=1相切,則a的值為±5或±3.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案