Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

≤φ＜

π

2

）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱，且圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）由題意易得周期為π，可得ω，再由對稱軸可得φ值，可得解析式；
（II）由x范圍結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值．

解答： 解：（I）∵函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為π，
∴?（x）的最小正周期T=π，∴ω=

2π

T

=2，
又∵f（x）圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱，
∴2×

π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
∵-

π

2

≤φ＜

π

2

，∴φ=-

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）；
（II）由（I）知f（x）=2sin（2x-

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴f(x)min=f(0)=-1，f(x)max=f(

π

3

)=2

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的對稱性和最值，屬中檔題．