Question

9．已知函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1+3，當(dāng)x∈[-2，1]時，f（x）的最大值為m，最小值為n，
（1）若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（m，n），求sinα+cosα的值；
（2）g（x）=mcos（nx+$\frac{π}{m}$）+n，求g（x）的最大值及自變量x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性可得m，n，再利用三角函數(shù)的定義即可得出；
（2）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1+3=（2^x）²-2•2^x+3=（2^x-1）²+2，
當(dāng)x∈[-2，1]時，2^x∈$[\frac{1}{4}，2]$．
∴當(dāng)2^x=1，即x=0時，函數(shù)f（x）取得最小值2，即n=2．
又f（-2）=$\frac{41}{12}$，f（1）=3．
∴f（x）的最大值為3，即m=3，
∴角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），
∴sinα=$\frac{2}{\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，cosα=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴sinα+cosα=$\frac{5\sqrt{13}}{13}$．
（2）g（x）=mcos（nx+$\frac{π}{m}$）+n=3$cos（2x+\frac{π}{3}）$．
當(dāng)$2x+\frac{π}{3}$=2kπ，解得x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）時，$cos（2x+\frac{π}{3}）$取得最大值1，g（x）取得最大值3．
此時x的取值集合為{x|x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）}．

點(diǎn)評 本題考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的定義、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．