Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為a₁=5，前n項和為S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N⁺）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)f（x）=（a₁+1）x+（a₂+1）x²+…+（a_n+1）xⁿ，求函數(shù)f（x）在點x=1處的導致f′（1）的值．

Answer 1

考點：導數(shù)的運算,數(shù)列遞推式

專題：導數(shù)的概念及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式得到n≥2時，S_n=2S_n-1+n+4，和原遞推式聯(lián)立后得到a_n+1=2a_n+1，由等比數(shù)列的定義證得數(shù)列{a_n+1}成等比數(shù)列；
（2）由求導公式荷題意求出f′（x），再求出f′（1）的表達式，由（1）和等比數(shù)列的通項公式求出a_n+1，代入f′（1）后，利用等比數(shù)列的前n項和公式、錯位相減法求出f′（1）．

解答： 證明：（1）由已知S_n+1=2S_n+n+5（n∈N₊），
可得n≥2時，S_n=2S_n-1+n+4，
兩式相減得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，即a_n+1=2a_n+1．
則a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2）．
當n=1時，S₂=2S₁+1+5，則a₂+a₁=2a₁+6，
又a₁=5，得a₂=11．即a₂+1=2（a₁+1）．
所以a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N₊，
又a₁=5，a₁+1≠0，
所以數(shù)列{a_n+1}成等比數(shù)列；
解：（2）因為f（x）=（a₁+1）x+（a₂+1）x²+…+（a_n+1）xⁿ，
所以f′（x）=（a₁+1）+2（a₂+1）x+…+n（a_n+1）x^n-1，
則f′（1）=（a₁+1）+2（a₂+1）+…+n（a_n+1），
由（1）知a_n+1=6×2^n-1=3×2ⁿ，代入上式得，
f′（1）=（a₁+1）+2（a₂+1）+…+n（a_n+1）
=3（1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ），①
2f′（1）=3（1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹），②
①-②可得，-f′（1）=3（2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）
=3（

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹）=3（1-n）2ⁿ⁺¹-6，
所以f′（1）=3（n-1）2ⁿ⁺¹+6．

點評：本題考查利用等比數(shù)列的證明方法：定義法，等比數(shù)列的前n項和公式數(shù)列a_n與S_n的關(guān)系式，求導公式，以及錯位相減法求數(shù)列的前n項和，屬于中檔題．