Question

盒中共有9個球，其中有4個紅球，3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同．
（1）規(guī)定：進行一次操作指：“從盒中隨機取出一個球，若取出的是黃球，則把它放回盒中；
若取出的是紅球或綠球，則該球不放回，并另外補一個黃球放入盒中”，求：
①在第一次操作取出的是紅球或綠球的條件下，第二次操作取出黃球的概率；
②經(jīng)過第二次操作后，盒中黃球的個數(shù)是4個概率；
（2）從盒中一次隨機抽出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別為x₁、x₂、x₃，隨機變量X表示x₁、x₂、x₃的最大數(shù)，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）①設(shè)事件A表示“第三者次操作取出的是黃球”，事件

.

A

表示“第一次操作取出的不是黃球”，事件B表示“第二次操作取出的是黃球”，事件

.

B

表示“第二次操作取出的不是黃球”，事件C表示“第二次操作后盒中黃球個數(shù)為4”的概率，由此利用條件概率計算公式能求出在第一次操作取出的是紅球或綠球的條件下，第二次操作取出黃球的概率．
②由條件概率計算公式，得P（A

.

B

）=

2

9

，P（

.

A

B）=

8

27

，事件C=A

.

B

+

.

A

B，且A

.

B

與

.

A

B是互斥事件，由此能求出經(jīng)過第二次操作后，盒中黃球的個數(shù)是4個概率．
（2）從盒中一次隨機取出4個球，分析其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)可能的結(jié)果，得到隨機變量X的可能取值為4，3，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答： （1）①解：設(shè)事件A表示“第三者次操作取出的是黃球”，
事件

.

A

表示“第一次操作取出的不是黃球”，
事件B表示“第二次操作取出的是黃球”，事件

.

B

表示“第二次操作取出的不是黃球”，
事件C表示“第二次操作后盒中黃球個數(shù)為4”的概率，
∴在第一次操作取出的是紅球或綠球的條件下，第二次操作取出黃球的概率：
P（B/

.

A

）=

4

9

．
②A

.

B

表示事件“第一次操作從盒中取出的是黃球，且第二次操作從盒中取出的不是黃球”，
由條件概率計算公式，得：
P（A

.

B

）=P（A）P（

.

B

/A）=

3

9

×

6

9

=

2

9

．

.

A

B表示事件“第一次操作從盒中取出的不是黃球，且第二次操作從盒中取出的是黃球”，
由條件概率計算公式，得：
P（

.

A

B）=P（

.

A

B）=P（

.

A

）P（B/

.

A

）=

4

9

×

6

9

=

8

27

，
事件C=A

.

B

+

.

A

B，且A

.

B

與

.

A

B是互斥事件，
∴P（C）=P（A

.

B

）+P（

.

A

B）=

2

9

+

8

27

=

14

27

．
（2）解：從盒中一次隨機取出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)可能是：

	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧	⑨
x1（紅）	1	1	1	2	2	2	3	3	4
x2（黃）	3	2	1	2	1	0	1	0	0
x3（綠）	0	1	2	0	1	2	0	1	0

∴隨機變量X的可能取值為4（⑨），3（①⑦⑧），2（②③④⑤⑥），
P（X=4）=

C 4 4

C 4 9

=

1

126

，
P（X=3）=

C 3 4 C 1 5 + C 3 3 C 1 6

C 4 9

=

13

63

，
P（X=2）=1-P（X=3）-P（X=4）=

11

14

，
∴X的分布列為：

X	2	3	4
P	11 14	13 63	1 126

E（X）=2×

11

14

+3×

13

63

+4×

1

126

=

20

9

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用，注意條件概率公式的合理運用．