Question

15．已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0與直線l：y=x+b相交于不同的兩點A、B．
（1）求實數(shù)b的取值范圍；
（2）是否存在直線l，使得OA⊥OB（其中O為坐標原點），若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直線l：y=x+b代入圓的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，因為直線與圓相交，從而b²+6b-11＜0，即可求實數(shù)b的取值范圍；
（2）由OA⊥OB得：（x₁+b）（x₂+b）+x₁x₂=0，由此能求出直線方程．

解答 解：（1）直線l：y=x+b，
代入圓的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，
因為直線與圓相交，
所以b²+6b-11＜0，
所以-3-3$\sqrt{2}$＜b＜-3+3$\sqrt{2}$…（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-b-1，x₁x₂=$\frac{^{2}+4b-4}{2}$，
由OA⊥OB得：（x₁+b）（x₂+b）+x₁x₂=0，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）+b²=0，
∴b²+3b-4=0，解得b=-4，或b=1，
均滿足b²+6b-11＜0，
所求直線存在y=x-4或y=x+1．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．