Question

7．已知角α，β均為銳角，且cosα=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，則α-β的值為（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $-\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}或-\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 sinα和cosβ的值，再利用兩角差的正弦公式求得sin（α-β）的值，結(jié)合α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），可得α-β的值．

解答 解：∵角α，β均為銳角，且cosα=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
則sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{10}}{10}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
再根據(jù)α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），可得α-β=-$\frac{π}{4}$，
故選：C．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．