Question

13．已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0的兩側，給出下列命題：
①2a-3b+1＞0；   ②a≠0時，$\frac{a}$有最小值，無最大值；
③存在正實數(shù)m，使得$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$＞m恒成立；
④a＞0且a≠1，b＞0時，則$\frac{a-1}$的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）．
其中正確的命題是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 由已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0的兩側可得2a-3b+1＜0，結合不等式的性質可得當a＞0時，$\frac{a}＞\frac{2}{3}+\frac{1}{3a}$，從而對①②作出判斷；對于③，是看$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$有沒有極小值，根據(jù) $\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$ 的取值即可得出；對于④，利用式子蘊含的斜率的幾何意義即可解決

解答 解：由已知（2a-3b+1）（2-0+1）＜0，即2a-3b+1＜0，∴①錯；
當a＞0時，由3b＞2a+1，可的  $\frac{a}＞\frac{2}{3}+\frac{1}{3a}$，∴不存在最小值，∴②錯；
$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$表示為（a，b）與（0，0）兩點間的距離，
由于原點（0，0）到直線2x-3y+1=0的距離d=$\frac{1}{\sqrt{4+9}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$，由線性規(guī)劃知識可得$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}＞d=\frac{\sqrt{13}}{13}$，∴③正確；
$\frac{a-1}$表示點（a，b）與點（1，0）連線的斜率，
如圖，由線性規(guī)劃知識可知a＞0且a≠1，b＞0時，則$\frac{a-1}$的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）．，+∞）．④正確．
故選．D．

點評 本題主要考查了簡單線性規(guī)劃，用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數(shù)形結合的思想，屬中檔題．