Question

9．以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|=4$\sqrt{2}$，|DE|=2$\sqrt{5}$，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4．

Answer 1

分析 畫出圖形，設(shè)出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可拋物線的方程，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，即可求得C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．

解答 解：設(shè)拋物線為y²=2px，如圖：|AB|=4$\sqrt{2}$，|AM|=2，
|DE|=2$\sqrt{5}$，|DN|=$\sqrt{5}$，|ON|=$\frac{p}{2}$，
x_A=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}}{2p}$=$\frac{4}{p}$，
∵|OD|=|OA|，
∴$\sqrt{丨{ON丨}^{2}+丨DN{丨}^{2}}$=$\sqrt{丨OM{丨}^{2}+丨AM{丨}^{2}}$
∴$\frac{{p}^{2}}{4}$+5=$\frac{16}{{p}^{2}}$+8，解得：p=4，
∴拋物線的方程為：y²=8x，
C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線與圓的方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．