【題目】已知函數(shù)f(x)= sin2x+2cos2x+m(0≤x≤ ).
(1)若函數(shù)f(x)的最大值為6,求常數(shù)m的值;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1和x2 , 求m的取值范圍,并求x1和x2的值;
(3)在(1)的條件下,若g(x)=(t﹣1)f(x)﹣ (t≥2),討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】
(1)解:由題意得,
=
∵ ,∴ ,則 ,
∴ 時(shí),f(x)最大=2×1+1+m=6,
解得m=3
(2)解:令 ,∵ ,∴ ,
函數(shù)f(x)在 上有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2方程2sinz=﹣1﹣m在 上有兩解.
即函數(shù)y=2sinz與y=﹣m﹣1在 上有兩個(gè)交點(diǎn),
由圖象可知 ,解得﹣3<m≤﹣2
由圖象可知 ,∴ ,
解得
(3)解:在(1)的條件下, ,
且 ,則 ,
當(dāng)t≥2時(shí),(t﹣1)f(x)≥3(當(dāng)t=2且 時(shí)取等號(hào)) ,
∵ ,∴ ,
(當(dāng) 時(shí)取等號(hào))
所以當(dāng)t=2時(shí),函數(shù) 有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)t>2時(shí),(t﹣1)f(x)>3 恒成立,
函數(shù) 沒有零點(diǎn)
【解析】(1)利用二倍角的正弦公式,兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式,由x的范圍求出 的范圍,由正弦函數(shù)的最大值和條件列出方程,求出m的值;(2)由x的范圍求出z= 的范圍,將函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為:方程2sinz=﹣1﹣m在 上有兩解,再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),由正弦函數(shù)的圖象列出不等式,求出m的范圍,由正弦函數(shù)的圖象和對(duì)稱性求出x1與x2的和;(3)由(1)求出f(x)的最小值,求出當(dāng)t≥2時(shí)(t﹣1)f(x)的范圍,利用商的關(guān)系、兩角差的正切公式化簡(jiǎn) ,由x的范圍、正切函數(shù)的性質(zhì)求出 范圍,即可判斷出函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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【題目】已知橢圓.
(1)若橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,求的值;
(2)由橢圓上不同三點(diǎn)構(gòu)成三角形稱為橢圓的內(nèi)接三角形.若以為直角頂點(diǎn)的橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形恰有三個(gè),求的取值范圍.
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【題目】如圖,點(diǎn)是菱形所在平面外一點(diǎn), , 是等邊三角形, , , 是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)求直線與平面的所成角的大小.
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【題目】在正方體中, 為棱上一動(dòng)點(diǎn), 為底面上一動(dòng)點(diǎn), 是的中點(diǎn),若點(diǎn)都運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集是一個(gè)空間幾何體,則這個(gè)幾何體是
A. 棱柱 B. 棱臺(tái) C. 棱錐 D. 球的一部分
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【題目】已知點(diǎn),圓
(1)過點(diǎn)的圓的切線只有一條,求的值及切線方程;
(2)若過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為,求的值.
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【題目】三棱錐的三組相對(duì)棱(相對(duì)的棱是指三棱錐中成異面直線的一組棱)分別相等,且長(zhǎng)分別為,其中,則該三棱錐體積的最大值為
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2, .
(1)求證:PD⊥平面PAB;
(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.
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【題目】 已知實(shí)數(shù).滿足方程,當(dāng)()時(shí),由此方程可以確定一個(gè)偶函數(shù),則拋物線的焦點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡上點(diǎn)的距離最大值為_________.
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