Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= sin2x+2cos2x+m（0≤x≤ ）．
（1）若函數(shù)f（x）的最大值為6，求常數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1和x2 ， 求m的取值范圍，并求x1和x2的值；
（3）在（1）的條件下，若g（x）=（t﹣1）f（x）﹣ （t≥2），討論函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，

=

∵ ，∴ ，則 ，

∴ 時(shí)，f（x）最大=2×1+1+m=6，

解得m=3

（2）解：令 ，∵ ，∴ ，

函數(shù)f（x）在 上有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2方程2sinz=﹣1﹣m在 上有兩解．

即函數(shù)y=2sinz與y=﹣m﹣1在 上有兩個(gè)交點(diǎn)，

由圖象可知 ，解得﹣3＜m≤﹣2

由圖象可知 ，∴ ，

解得

（3）解：在（1）的條件下， ，

且 ，則 ，

當(dāng)t≥2時(shí)，（t﹣1）f（x）≥3（當(dāng)t=2且 時(shí)取等號(hào)） ，

∵ ，∴ ，

（當(dāng) 時(shí)取等號(hào)）

所以當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù) 有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)t＞2時(shí)，（t﹣1）f（x）＞3 恒成立，

函數(shù) 沒有零點(diǎn)

【解析】（1）利用二倍角的正弦公式，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由x的范圍求出 的范圍，由正弦函數(shù)的最大值和條件列出方程，求出m的值；（2）由x的范圍求出z= 的范圍，將函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為：方程2sinz=﹣1﹣m在 上有兩解，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖象列出不等式，求出m的范圍，由正弦函數(shù)的圖象和對(duì)稱性求出x1與x2的和；（3）由（1）求出f（x）的最小值，求出當(dāng)t≥2時(shí)（t﹣1）f（x）的范圍，利用商的關(guān)系、兩角差的正切公式化簡(jiǎn) ，由x的范圍、正切函數(shù)的性質(zhì)求出 范圍，即可判斷出函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．