Question

已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且點(diǎn)，滿足條件：.

（�。┣�的值；

（ⅱ）若點(diǎn)是三個(gè)不同的點(diǎn)， 判斷三點(diǎn)是否可以構(gòu)成直角三

角形？請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

（1）；（2）；點(diǎn)，，可構(gòu)成直角三角形.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和極值、向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，對(duì)求導(dǎo)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1代入到中得到切線的斜率，代入到中得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而利用點(diǎn)斜式得到切線方程；第二問，先求函數(shù)的定義域，令，得到方程的根，將定義域斷開，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)極值；第三問，先排除幾個(gè)特例情況，在一般情況中，要證明三角形為直角三角形，只需判斷2邊垂直，用向量垂直的充要條件證明即可.

試題解析：（1）， ，又，所以曲線在處的切線方程為，即．

（2）（�。�對(duì)于，定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719362781722532/SYS201411171936495993302029_DA/SYS201411171936495993302029_DA.016.png">．

當(dāng)時(shí)，，，∴；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，∴

所以存在唯一的極值點(diǎn)，∴，則點(diǎn)為

（ⅱ）若，則，與條件不符，

從而得．同理可得．

若，則，與條件不符，從而得．

由上可得點(diǎn)，，兩兩不重合．

從而，點(diǎn)，，可構(gòu)成直角三角形．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和極值、向量垂直的充要條件.