Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|+2x-3，記f（x）≤-1的解集為M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）當(dāng)x∈M時(shí)，證明：x[f（x）]²-x²f（x）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡(jiǎn)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-1\\ 3x-5\end{array}\right.$$\begin{array}{l}x≤2\\ x＞2\end{array}$，通關(guān)當(dāng)x≤2時(shí)，當(dāng)x＞2時(shí)，分別求解f（x）≤-1的解集．
（Ⅱ）求出當(dāng)x∈M時(shí)，f（x）=x-1，化簡(jiǎn)x[f（x）]²-x²f（x），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知，得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-1\\ 3x-5\end{array}\right.$$\begin{array}{l}x≤2\\ x＞2\end{array}$，
當(dāng)x≤2時(shí)，由f（x）=x-1≤-1，解得，x≤0，此時(shí)x≤0．
當(dāng)x＞2時(shí)，由f（x）=3x-5≤-1，解得$x≤\frac{4}{3}$，顯然不成立，
故f（x）≤-1的解集為M={x|x≤0}．
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈M時(shí)，f（x）=x-1，
于是$x{[{f（x）}]^2}-{x^2}f（x）=x{（{x-1}）^2}-{x^2}（{x-1}）=-{x^2}+x=-{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}$，
∵函數(shù)$g（x）=-{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}$在（-∞，0]上是增函數(shù)，∴g（x）≤g（0）=0，
故x[f（x）]²-x²f（x）≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．